공부: Multiple View Geometry (3)Cont.

Multiple View Geometry Study Note

2. Projective Geometry and Transformations of 2D (Cont.3)

지난번 MVG(3)에서는 2D geometry에서 affine properties의 복원에 대해서 공부했습니다.
이번에는 metric properties의 복원에 대해 공부할 것 입니다.
지난 공부에서 배웠듯이 metric properties에는 angle, length ratio가 있습니다.
이 성분들을 복원하기 위해 우리는 conic dual to circular points라는 개념을 사용합니다.
그럼 circular points부터 시작하겠습니다.

WIKI : circular points at infinity?

absolute points라고도 불리는 circular points는 similarity transform에 불변하는 점입니다.
I,J로 표시하는데 복소수를 사용하는 저런 좌표를 canonical coordinates라고 하고 I와J는 서로 켤레 복소수 임을 알 수 있습니다.
이 두 점이 similarity transform에 불변하는 것은 왼쪽 슬라이드 두번째 식을 보면 알 수 있습니다. 변환 결과 homogeneous 좌표 모든부분에 같은 실수가 곱해지므로, 결과적으로 similarity transform에 불변함을 증명할 수 있습니다.

'circular points at infinity lie on the complexification of every real circle.'
코닉이 원이 되려면 코닉 기본식에서 a=c, b=0을 만족해합니다. complexification(infinity와 관련?)이기 때문에 x3=0인 것 같습니다. 그럼 결국 오른쪽의 코닉 식에서 만족하는 점은 circular points at infinity인 I와 J 입니다. 또한 I와 J를 외적하면 (0,0,i)인 복소수 곱의 line at infinity 가 됩니다.

CUEMATH : General Discussion on Conics
두 circular points로 표현되는 degenerated dual conic은 similarity transform에 불변합니다.
line at infinity는 the dual conic의 널 벡터입니다. circular point가 line at infinity위의 점임을 생각하면 이해하기 쉬울 것입니다.

(내적에는 순서가 없다!,교환법칙성립)
공부하면서 이해하는데 어려움이 많았던 부분입니다.
일반적으로 두 벡터가 이루는 각도를 구할때, 내적을 사용합니다. 하지만 affine transform된 경우 각 벡터가 변형 되어서 기존 방법으로 원래의 각도를 구할 수 없습니다(affine 변환으로 각도가 변형됨).
우리는 transform된 conic dual to circular points(~on the projective plane)를 identify해서 위의 내적식에 적용하는 방법으로 transform된 영상에서 원래의 각도를 계산할 수 있습니다.
projective case의 공식은 결국 유클리디안의 식과 같아집니다. 이것은 projective case의 아랫부분에 있는 식(transformation rules for lines and dual conics)을 통해 이해할 수 있으실 겁니다. 그리고 코사인 90도가 0이므로 분자가 0이면 두직선이 직교한다는 것을 알 수 있습니다(이 성질을 사용해서 transformed dual conic을 구함).
projective case식에서 우리가 필요한 것은 C'*로 표현 된 projective plane에서의 dual conic입니다. 이것을 identify하는 방법은 뒤에 나올 것입니다.
이렇게 우리는 transform된 상태에서 원래의 각도를 복원 할 수 있습니다. 각도가 복원된다는 것은 각 선분의 길이 비율이 복원된다는 것과 동치입니다. 오른쪽 슬라이드의 사인 공식을 참고하시면 되겠습니다.
지금까지 우리는 dual conic을 사용하여 영상의 metric properties를 복원 할 수 있음을 보았습니다. 
그럼 이제 그 계산에 필요한 transformed dual conic을 identify하여 실제로 어떻게 계산이 이루어지는지 보겠습니다.

transformed dual conic은 다음과 같습니다. similarity transform은 불변하므로 지워지고, projective 와 affine 변환요소가 남습니다(block matrix로 표현된 K와 v). K는 2x2 행렬이고, v는 2x1 입니다.

metric properties를 복원 할때는 앞에서 나온 transformed dual conic을 구하는 방법을 사용합니다. 이 때 두가지 케이스로 나뉘는데, 첫번째로 affine rectification이 된경우에는 Hp변환이 제거된 것이기 때문에 v=0으로 K만 고려하면 됩니다. K는 2x2이므로 dof가 3입니다. 미지수가 n개인 다항식은 다항식 n-1개로 미지수들을 구할 수 있습니다. 따라서, 영상에서 원래 직교하는 직선 세트 2개를 사용해서 C'*를 구할 수 있습니다.
두번째로 affine rectification이 되지 않은 경우에는 dof가 5이므로 직교하는 직선 세트 5개를 사용하여 C'*를 구할 수 있습니다.
C'*를 구한다는 것은 transform을 측정한 것과 같고 우리는 위에서 공부했듯이 원영상에서의 각도와 길이 비율을 구하여 metric properties를 복원 한 것입니다.